Меню сайта

Приведение формул обращения томографической реконструкции в конусе лучей к виду, позволяющему строить численные алгоритмы.

В компьютерной рентгеновской томографии трехмерный объект представляется обычно в виде набора тонких срезов. Для восстановления плотности среза решается задача обращения двумерного преобразования Радона. Для исследования ряда объектов более естественной является другая схема, когда источник излучения движется по некоторой пространственной кривой. Каждой точке кривой соответствует конус лучей, проходящих через эту точку. Исходными данными являются данные об ослаблении излучения при прохождении через объект. Математически задача ставится как задача восстановления функции трех переменных по интегралам вдоль прямых, проходящих через заданную кривую. Была получена формула обращения для функций, имеющих финитный носитель, и для кривых, удовлетворяющих определенным условиям. Главным в этих условиях является то, что любая плоскость, пересекающая объект пересекает кривую, по которой движется источник. Примером кривой, удовлетворяющей условиям, является совокупность двух единичных окружностей, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях. Однако построение численных алгоритмов непосредственно на основании этой формулы, затруднительно. Дело, в частности, в том, что формула обращения основана на преобразовании Фурье от однородной функции, получаемой из исходных данных. Причем преобразование Фурье понимается в смысле обобщенных функций, а преобразование Фурье в обычном смысле может не существовать. В настоящем параграфе приводятся выражения для используемого преобразования Фурье, позволяющие при построении численных алгоритмов использовать метод, изложенный в предыдущем параграфе. Устанавливаются также некоторые соотношения между результатами

Пусть заданы функция f(x) = f(x1, x2, x3) , точка S = (s1, s2, s3) и вектор a = (a 1, a 2, a 3). Лучевым преобразованием функции f(x) будем называть функцию

,

являющуюся интегралом от f(x) вдоль луча, исходящего из точки S в направлении вектора a .

Наряду с функцией в некоторых ситуациях рассматривается функция

,

являющаяся интегралом по всей прямой или, что тоже самое, суммой интегралов вдоль лучей из точки z в направлениях a и -a .

Множество точек S, для которых известно лучевое преобразование обычно является множеством точек, принадлежащих некоторой кривой, являющейся траекторией движения источника излучения.

Пусть задана кривая, по которой движется источник, Ф(l ) = (Ф1(l ), Ф2(l ), Ф3(l )) параметр l пробегает некоторый интервал Ù действительной прямой. Для любого a = (a 1, a 2, a 3) и l Î Ù определим функцию

.

Функция g(a ,l ) есть интеграл от функции f(x) вдоль проходящего через точку Ф(l ) в направлении вектора a . Отметим, что при любом фиксированном l функция является l однородной функцией a степени -1:

. (2.1.1)

Для функций, имеющих финитный носитель, в [101] получена формула:

. (2.1.2)

При фиксированном l функция G+(b ,l ) есть преобразование Фурье от функции по переменной a , b = (cosq cosf , sinq cosf , sinf ). В формуле (2.1.2) l зависит от x и b и выбирается из условий: скалярное произведение (b , x) равно (b ,f (l )), но (b ,Ф(l )) не равно нулю. Значение функции f(x) может быть восстановлено в точке x, если такое l существует для любого b . Геометрически это означает, что любая плоскость, пересекающая точку x носителя функции, пересекает кривую Ф(l ) так, что знаменатель в (2.1.2) не обращается в нуль. Примером кривой, удовлетворяющей условиям Кириллова-Туя, является совокупность двух единичных окружностей, лежащих во взаимно перпендикулярных плоскостях, если носитель лежит в единичном шаре. Для цилиндрических объектов можно использовать винтовую линию.

Перейти на страницу: 1 2 3 4 5

Читайте больше >>>

Санаторно-курортное лечение
Естественные, или природные, лечебные факторы включают климат, минеральные воды и лечебные грязи. В природе они распределены неравномерно. Местности, располагающие природными лечебными факторами (минеральные ...

Строение и функции вилочковой железы, рис.
Внешние и внутренние факторы меняют клеточные циклы здорового человека. В результате образуются аномальные (чужеродные, или синтезированные не так, как свои собственные) молекулы и клетки. Специальные клетки к ...

Роль ЦНС в регуляции жизнедеятельности
Нервная система подразделяется на центральную нервную систему – головной и спинной мозг – и периферическую нервную систему - отходящие от головного и спинного мозга черепно-мозговые нервы и нервные узлы. Ед ...

Цефалоспорины спектр активности, направления клинического применения
1Создание и внедрение в клиническую практику антибиотиков класса цефалоспоринов явилось, безусловно, одним из важнейших событием в истории химиотерапии бактериальных инфекции. В настоящее время, очевидно, что ...