Меню сайта
Приведение формул обращения томографической реконструкции в конусе лучей к виду, позволяющему строить численные алгоритмы.
В формулу (2.1.2) входит G+(b ,l ) - преобразование Фурье от функции 
, однако преобразование Фурье, понимаемое в обычном смысле:
,
в данном случае не существует, так как является однородной и имеет на бесконечности порядок 1/ê a ê . Преоразование Фурье здесь понимается в смысле обобщенных функций. Поскольку однородная функция, то при любом фиксированном l исходные данные, полностью определяются своими значениями на поверхности ê a ê =1. Переход к функции, заданной во всем пространстве R3 при использовании преобразования Фурье приводит к обобщенным функциям. Преобразование Фурье в смысле обобщенных функций является линейным функционалом над соответствующим пространством. Подробнее об этом будет сказано в следующих параграфах. Здесь нам важно отметить, что не любой функционал задается с помощью регулярной функции. Для того, чтобы использовать формулы типа (2) для построения алгоритмов, необходимо показать, что 
задается с помощью регулярной функции и иметь для нее выражения через функцию . В работе [101] дается выражение, связывающее , при x отличном от нуля с помощью регулярных операций с искомой функций f(x), то есть фактически показано, что функционал задается с помощью регулярной функции. Однако для построения алгоритмов томографической реконструкции нужно выразить не через искомую функцию f(x), а через исходные данные .
Итак, перейдем к нахождению . Мы будем использовать то, что является однородной функцией по a фиксированном l . В [95] доказано следующее
Утверждение: Пусть 
есть преобразование Фурье в смысле обобщенных функций от однородной функции 
, тогда
. (2.1.3)
Строгое доказательство требует существенного использования аппарата обобщенных функций, понимаемых как линейные функционалы над соответствующим пространством. Здесь мы ограничимся изложением основных моментов доказательства. В частности, замену переменных в расходящихся интегралах мы будем делать по тем же правилам, что и в обычных.
Представим в виде
,
(поскольку параметр l фиксирован, его на данном этапе можно опустить).
Как уже отмечалось выше, интеграл является расходящимся, тем не менее, переходя к сферическим координатам по обычным правилам, получаем:
,
где b = b (j ,q ) = (cosq cosj , sinq cosj , sinj ), j Î [-p /2, p /2], q Î [0, p ].
Учитывая, что 
, а также то, что интегрирование по углам j и q соответствует интегрированию по единичной сфере, приходим к выражению
.
Интеграл по r есть преобразование Фурье от r ++. Используя таблицы для преобразования Фурье обобщенных функций [19], приходим к выражению (2.1.3).
Читайте больше >>>
Синдром желудочно-кишечного кровотечения. Принципы диагностики и лечения
Острое
желудочно-кишечное кровотечение
— частое осложнение язвенной болезни, отличающееся трудностью диагностики и
неудовлетворительными результами консервативного и оперативного лечения.
Всех больных с
...
Развивающийся мозг
Многие
закономерности функционирования нервной системы становятся понятными при
изучении истории развития нервной системы в процессе эволюции живой природы
(филогенез). Хотя можно говорить о ряде отличительных ...
Репарация ткани и раковое перерождение
Целью данного реферата является сравнение двух
процессов - процесса злокачественного перерождения ткани и процесса
репаративной регенерации. На первый взгляд в них нет ничего общего, хотя
наверняка это ...
Производные бензодиазепина
I.
дикалий клоразепата (транксен)
b. бензодиазепиновые агонисты БД-Р
B. серотониновые агонисты (транквилизаторы)
a. бус ...