Меню сайта

Элементы теории обобщенных функций в применении к задачам обращения лучевого преобразования

Обобщенная функция это непрерывный линейный функционал на пространстве К всех функций a (x), имеющих производные всех порядков и финитный носитель (свой для каждой из функций α (x)). Любая регулярная интегрируемая функция f(x) задает линейный функционал (f, a ):

. (2.2.1)

Однако на пространстве функций K существуют непрерывные линейные функционалы, которые не могут быть заданы с помощью регулярных интегрируемых функций, наиболее известными примерами таких функционалов являются δ-функция и ее производные. Другим широко известным примером является функционал, основанный на функции (1/x)dx. Функция 1/x x является регулярной, однако она не является интегрируемой. При задании соответствующего функционала интеграл

(2.2.2)

понимается в смысле главного значения:

.

Такое понимание интеграла используется при определении преобразования Гильберта от функции α (x) как свертки с функцией 1/xx.

.

Преобразование Гильберта используется, в частности, в одной из формул обращения преобразования Радона в двумерном пространстве. Эта формула обычно приводится в руководствах по компьютерной рентгеновской томографии. Однако метод свертки и обратного проецирования, часто используемый при построении численных алгоритмов томографической реконструкции, основан на несколько другом виде формулы обращения преобразования Радона. В этом методе по существу используется свертка проекционных данных последовательностью функций сходящихся к 1/xx2 в смысле обобщенных функций.

Линейный функционал, соответствующий функции 1/xx2, или, что то же самое, обобщенная функция 1/xx2 определяется формулой [19]

(2.2.3)

Интеграл в (2.2.3) сходится в обычном смысле для любой функции a (x) из пространства основных, и даже из более широкого класса, функций.

В формулах обращения преобразования Радона используется свертка данных с функцией 1/xx2. Свертка обобщенных функций определяется следующим образом.

Пусть заданы два функционала f и g . Действие функционала f *g являющегося их сверткой, на функцию a из пространства основных задается формулой

(f *g, a )= (fx, gy, a (x + y))). (2.2.4)

Здесь gy означает, что функционал действует на функцию a , как функцию переменной y, а функционал f действует на полученную функцию переменной x. Если функционалы f и g можно задать регулярными функциям, то функционал свертки определенный формулой (2.2.4) можно задать функцией, являющейся сверткой соответствующих функций в обычном смысле.

Здесь следует сделать одно замечание. Даже если функция одной переменной a (t ) имеет финитный носитель, функция двух переменных a (x + y) не является функцией с финитным носителем. Это означает, что существование функционала f *g для конкретных функционалов f и g или необходимо доказывать. Известно, что для существования функционала свертки, достаточно, чтобы один из функционалов имел финитный носитель.

Если рассматривать задачи томографии, то там с функцией 1/xx2 сворачиваются исходные данные, которые регулярны и имеют финитный носитель. Можно показать также, что необходимая свертка выражается формулой:

S(r, j ) = I(r, j ) * (-1/p r2 ) =

(2.2.5)

В реальных ситуациях функция I(r, j ) известна в некотором дискретном множестве точек. Для того, чтобы использовать формулу (2.2.4) нужно построить аппроксимацию функции I(r, j ), такую что интеграл в правой части имеет смысл. Интеграл (2.2.4) заведомо сходится, если функция I(r, j ) принадлежит множеству K, то есть имеет финитный носитель и является бесконечно дифференцируемой.

Однако аппроксимация данных бесконечно дифференцируемой функцией может оказаться громоздкой при построении численных алгоритмов. Кроме того, использование бесконечно дифференцируемых функций может приводить к заглаживанию границ областей с резко отличающимися плотностями. Для сходимости интеграла в (2.2.5) достаточно, чтобы функция I(r, j ) имела в каждой точке конечные односторонние производные первого порядка по переменной r. Это позволяет, в частности, использовать кубические сплайны для построения аппроксимации функции I(r, j ).

Перейти на страницу: 1 2 3 4

Читайте больше >>>

Развивающийся мозг
Многие закономерности функционирования нервной системы становятся понятными при изучении истории развития нервной системы в процессе эволюции живой природы (филогенез). Хотя можно говорить о ряде отличительных ...

Строение и функции вилочковой железы, рис.
Внешние и внутренние факторы меняют клеточные циклы здорового человека. В результате образуются аномальные (чужеродные, или синтезированные не так, как свои собственные) молекулы и клетки. Специальные клетки к ...

Синдром желудочно-кишечного кровотечения. Принципы диагностики и лечения
Острое желудочно-кишечное кровоте­чение — частое осложнение язвенной болезни, отличающееся трудностью диагнос­тики и неудовлетворительными результами консервативного и оперативного лечения. Всех больных с ...

Эндокринология (болезни поджелудочной железы)
Внешнесекреторная функция поджелудочной железы состоит в выработке панкреатического сока, играющего большую роль в переваривании продуктов питания. Панкреатический сок имеет щелочную реакцию (рН 8,3 – 8,6). В ...