Меню сайта

Элементы теории обобщенных функций в применении к задачам обращения лучевого преобразования

Основными операциями с обобщенными функциями, используемыми в задачах томографии, являются свертка, дифференцирование и преобразование Фурье. Основная идея определения операций заключается в том, что некоторые свойства функционалов, задаваемых регулярными функциями, берутся за основу при определении соответствующих операций над обобщенными функциями, являющимися линейными функционалами.

На этой основе построено приведенное выше определение свертки. Особенно просто и наглядно этот прием можно продемонстрировать при определении операции дифференцирования обобщенных функций.

Пусть линейный функционал f задается регулярной функцией f(x) имеющей интегрируемую производную. Для действия производной на функцию a (x) из пространства основных можно записать равенство

, (2.2.6)

здесь использовано интегрирование по частям и то, что a (x) равна нулю вне некоторого конечного интервала.

Приведенное выше свойство берется за основу при определении производной обобщенной функции. Пусть задан функционал f, его производной называется функционал f/, определяемый равенством . Так как функции из пространства основных бесконечно дифференцируемы, то определение является корректным и обобщенные функции имеют производные любого порядка.

Перейдем к определению преобразования Фурье в смысле обобщенных функций. В приводившихся выше определениях функции, входящие в пространство основных, были действительными. При определении преобразования Фурье целесообразно в качестве основных рассмотреть комплекснозначные функции.

Пусть K пространство комплексных основных функций (бесконечно дифференцируемых с финитным носителем).

Каждой комплекснозначной локально интегрируемой функции f(x) ставится в соответствие функционал

,

комплексно сопряжена с f(x), a (x) Î K.

Множество всех линейных непрерывных функционалов на K образует комплексное пространство обобщенных функций K/. Обозначим через Z - множество функций, являющихся преобразованиями Фурье функций из K.

Преобразованием Фурье элемента f из пространства K называется функционал g на пространстве Z, действующий по формуле

(g, y ) = 2 p (f, a ), (2.2.7)

здесь j такой элемент из K, для которого преобразование Фурье есть y . То есть для того чтобы вычислить действие функционала g на функцию y (l ) из пространства Z, нужно:

найти такую функцию a (x) из пространства K, преобразованием Фурье, которой является функция y (l );

найти действие функционала f на найденную функцию a (x).

Пространства основных функций и функционалов над ними выбраны нами так, что оба шага всегда выполнимы.

Здесь следует обратить внимание на то, что обобщенные функции и их преобразования Фурье определяются как линейные функционалы над разными основными пространствами. Причем функции из множества Z, на котором действуют преобразования Фурье, не являются функциями с финитными носителями, но продолжают оставаться бесконечно дифференцируемым. Что позволяет сохранить многие полезные свойства обобщенных функций.

В формулах обращения лучевого преобразования, на которых основаны алгоритмы решения задачах трехмерной компьютерной томографии, используется преобразование Фурье однородных функций. Классическое преобразование Фурье таких функций не существует, преобразование Фурье в формулах понимается в смысле обобщенных функций.

Рассмотрим несколько подробнее этот вопрос с точки зрения возможности построения соответствующих численных алгоритмов в трехмерном пространстве.

Напомним определение лучевого преобразования, которое было дано в предыдущих параграфах.

Лучевым преобразованием функции f(x) = f(x1, x2, x3) называется функция

, (2.2.8)

являющаяся интегралом от f(x) вдоль луча, исходящего из точки S = (s1, s2, s3) в направлении вектора a = (a 1, a 2, a 3).

Как уже отмечалось выше, в наряду с функцией рассматривается функция

,

Перейти на страницу: 1 2 3 4

Читайте больше >>>

Строение и фyнкции желудка
Для всех живых организмов пища – источник энергии и веществ, обеспечивающих их жизнедеятельность, а питание (совокупность процессов, включающих поглощение, переработку, всасывание и дальнейшее усвоение пищевых ...

Причины и профилактика наркомании
"Наркомания это болезнь, но без одной стадии – полного выздоровления". Злоупотребление наркотиками, известное с древнейших времен, сейчас распространилось в размерах, трево ...

Цикл лекций Женщине о раке
Современная медицина располагает обширным арсеналом диагностических средств, новейшей лечебной аппаратурой, множеством противо­опухолевых препаратов, что позволяет добиться успехов в лечении рака. Однако одни ...

Психологическая концепция В.М. Бехтерева
Среди выдающихся отечественных ученых, организаторов и основоположников советской психологической науки выделяется Владимир Михайлович Бехтерев. Невропатолог и психиатр, специалист в об ...