Меню сайта
Элементы теории обобщенных функций в применении к задачам обращения лучевого преобразования
Основными операциями с обобщенными функциями, используемыми в задачах томографии, являются свертка, дифференцирование и преобразование Фурье. Основная идея определения операций заключается в том, что некоторые свойства функционалов, задаваемых регулярными функциями, берутся за основу при определении соответствующих операций над обобщенными функциями, являющимися линейными функционалами.
На этой основе построено приведенное выше определение свертки. Особенно просто и наглядно этот прием можно продемонстрировать при определении операции дифференцирования обобщенных функций.
Пусть линейный функционал f задается регулярной функцией f(x) имеющей интегрируемую производную. Для действия производной на функцию a (x) из пространства основных можно записать равенство
, (2.2.6)
здесь использовано интегрирование по частям и то, что a (x) равна нулю вне некоторого конечного интервала.
Приведенное выше свойство берется за основу при определении производной обобщенной функции. Пусть задан функционал f, его производной называется функционал f/, определяемый равенством 
. Так как функции из пространства основных бесконечно дифференцируемы, то определение является корректным и обобщенные функции имеют производные любого порядка.
Перейдем к определению преобразования Фурье в смысле обобщенных функций. В приводившихся выше определениях функции, входящие в пространство основных, были действительными. При определении преобразования Фурье целесообразно в качестве основных рассмотреть комплекснозначные функции.
Пусть K пространство комплексных основных функций (бесконечно дифференцируемых с финитным носителем).
Каждой комплекснозначной локально интегрируемой функции f(x) ставится в соответствие функционал
,
комплексно сопряжена с f(x), a (x) Î K.
Множество всех линейных непрерывных функционалов на K образует комплексное пространство обобщенных функций K/. Обозначим через Z - множество функций, являющихся преобразованиями Фурье функций из K.
Преобразованием Фурье элемента f из пространства K называется функционал g на пространстве Z, действующий по формуле
(g, y ) = 2 p (f, a ), (2.2.7)
здесь j такой элемент из K, для которого преобразование Фурье есть y . То есть для того чтобы вычислить действие функционала g на функцию y (l ) из пространства Z, нужно:
найти такую функцию a (x) из пространства K, преобразованием Фурье, которой является функция y (l );
найти действие функционала f на найденную функцию a (x).
Пространства основных функций и функционалов над ними выбраны нами так, что оба шага всегда выполнимы.
Здесь следует обратить внимание на то, что обобщенные функции и их преобразования Фурье определяются как линейные функционалы над разными основными пространствами. Причем функции из множества Z, на котором действуют преобразования Фурье, не являются функциями с финитными носителями, но продолжают оставаться бесконечно дифференцируемым. Что позволяет сохранить многие полезные свойства обобщенных функций.
В формулах обращения лучевого преобразования, на которых основаны алгоритмы решения задачах трехмерной компьютерной томографии, используется преобразование Фурье однородных функций. Классическое преобразование Фурье таких функций не существует, преобразование Фурье в формулах понимается в смысле обобщенных функций.
Рассмотрим несколько подробнее этот вопрос с точки зрения возможности построения соответствующих численных алгоритмов в трехмерном пространстве.
Напомним определение лучевого преобразования, которое было дано в предыдущих параграфах.
Лучевым преобразованием функции f(x) = f(x1, x2, x3) называется функция
, (2.2.8)
являющаяся интегралом от f(x) вдоль луча, исходящего из точки S = (s1, s2, s3) в направлении вектора a = (a 1, a 2, a 3).
Как уже отмечалось выше, в наряду с функцией 
рассматривается функция
,
Читайте больше >>>
Профориентация детей-инвалидов по зрению
В условиях реформирования страны, становления
рыночных отношений десятки миллионов людей (пенсионеров, детей сирот, беженцев,
а также инвалиды по зрению) нуждаются в экстренной социальной помощи и защите.
...
Причины и профилактика наркомании
"Наркомания это болезнь,
но без одной стадии –
полного выздоровления".
Злоупотребление наркотиками, известное с
древнейших времен, сейчас распространилось в размерах, трево ...
Электротерапия
Все заболевания костно-мышечной системы могут быть
разделены на воспалительные, дистрофические, травматические и опухолевые.
В общем комплексе
лечебно-восстановительных мероприятий при лечении больных первых ...
Развивающийся мозг
Многие
закономерности функционирования нервной системы становятся понятными при
изучении истории развития нервной системы в процессе эволюции живой природы
(филогенез). Хотя можно говорить о ряде отличительных ...