Меню сайта

Элементы теории обобщенных функций в применении к задачам обращения лучевого преобразования

являющаяся интегралом по всей прямой или, что тоже самое, суммой интегралов вдоль лучей из точки S в направлениях a и - a .

Обе функции являются однородными степени -1, то есть для них выполняются равенства

, .

Отметим также, что является четной, а функция таковой не является.

Понятие однородности степени l можно естественным образом расширить на обобщенные функции, если взять за основу равенство g(g x) = g l g(x). В терминах действия на основную функцию j равенство запишется в виде (g, j (x/g ) = g l +n (g, j (x)), здесь g v любое вещественное число большее нуля, n n - размерность пространства, в котором заданы основные функции. В интегральном представлении обобщенных функций показатель n возникает при соответствующей замене переменных в dx.

Известно, что преобразование Фурье однородной обобщенной функции, тоже является однородной обобщенной функцией.

Для интегрируемых, ограниченных и имеющих ограниченный носитель, функций f их лучевое преобразование является регулярной однородной функцией. Из результатов работ следует, что в трехмерном пространстве преобразование Фурье таких функций, понимаемое в обобщенном смысле, задается регулярной функцией. Регулярная однородная функция задается своими значениями на единичной сфере. Таким образом, в практических ситуациях при инвертировании лучевого преобразования нас интересует соотношение между двумя функциями. Одна из них является сужением на единичную сферу лучевого преобразования, а другая - сужением на единичную сферу преобразование Фурье лучевых данных, понимаемого в смысле обобщенных функций. Подобное преобразование между функциями, заданными на единичной сфере естественно назвать преобразованием Семянистого, поскольку в его работе впервые получены подобные соотношения для симметричных однородных функций в n-мерных пространствах. Как уже отмечалось выше, функция не является симметричной, для нее соответствующие соотношения для функций на единичных сферах в трехмерном пространстве были получены в предыдущих параграфах.

Ранее были рассмотрены формулы обращения лучевого преобразования, основанные на явном использовании обобщенных функций, и приемы, позволяющие приводить эти формулы к виду удобному для построения численных алгоритмов.

К выводу формул обращения лучевого преобразования есть другой подход, не использующий обобщенные функции в явном виде. Мы покажем здесь, что фактически этот метод тоже основан на использовании преобразования Фурье в смысле обобщенных функций.

Лучевыми данными называется функция

,

Ф = (Ф1, Ф2, Ф3) Î R3, b Î S2 (S2 v единичная сфера). (Не трудно видеть, что в наших обозначениях это функция ).

В формулах обращения используются следующие функции:

(2.2.9)

, (2.2.10)

(S2/2 - половина единичной сферы), - скалярное произведение векторов и .

Формулы обращения в имеет вид

, (2.2.11)

где , R v радиус шара, в котором содержится носитель функции f(х), -элемент поверхности на единичной сфере.

Если для любого l, такого, что ½ l½ < R и любого b Î S2/2 существует точка Ф на траектории источника такая, что Ф × b = l (выполняются условия Кириллова-Туя), то формула (2.2.11) может быть использована для определения функции f(х).

В отмечается, что функция F при трехмерной томографической реконструкции в конусе лучей в определенной степени аналогична роли преобразования Фурье в двумерной томографии. Этот факт не является случайным.

Перейти на страницу: 1 2 3 4

Читайте больше >>>

Строение и фyнкции желудка
Для всех живых организмов пища – источник энергии и веществ, обеспечивающих их жизнедеятельность, а питание (совокупность процессов, включающих поглощение, переработку, всасывание и дальнейшее усвоение пищевых ...

Профориентация детей-инвалидов по зрению
В условиях реформирования страны, становления рыночных отношений десятки миллионов людей (пенсионеров, детей сирот, беженцев, а также инвалиды по зрению) нуждаются в экстренной социальной помощи и защите. ...

Профилактика отравлений ядохимикатами, применяемых в сельском хозяйстве
Общее признание получила гигиеническая классификация ядов, предложенная С.Д. Заугольниковым в 1967, в основу которой положена количественная оценка токсической опасности химических веществ на основе экспериме ...

Синдром желудочно-кишечного кровотечения. Принципы диагностики и лечения
Острое желудочно-кишечное кровоте­чение — частое осложнение язвенной болезни, отличающееся трудностью диагнос­тики и неудовлетворительными результами консервативного и оперативного лечения. Всех больных с ...