Меню сайта

Элементы теории обобщенных функций в применении к задачам обращения лучевого преобразования

являющаяся интегралом по всей прямой или, что тоже самое, суммой интегралов вдоль лучей из точки S в направлениях a и - a .

Обе функции являются однородными степени -1, то есть для них выполняются равенства

, .

Отметим также, что является четной, а функция таковой не является.

Понятие однородности степени l можно естественным образом расширить на обобщенные функции, если взять за основу равенство g(g x) = g l g(x). В терминах действия на основную функцию j равенство запишется в виде (g, j (x/g ) = g l +n (g, j (x)), здесь g v любое вещественное число большее нуля, n n - размерность пространства, в котором заданы основные функции. В интегральном представлении обобщенных функций показатель n возникает при соответствующей замене переменных в dx.

Известно, что преобразование Фурье однородной обобщенной функции, тоже является однородной обобщенной функцией.

Для интегрируемых, ограниченных и имеющих ограниченный носитель, функций f их лучевое преобразование является регулярной однородной функцией. Из результатов работ следует, что в трехмерном пространстве преобразование Фурье таких функций, понимаемое в обобщенном смысле, задается регулярной функцией. Регулярная однородная функция задается своими значениями на единичной сфере. Таким образом, в практических ситуациях при инвертировании лучевого преобразования нас интересует соотношение между двумя функциями. Одна из них является сужением на единичную сферу лучевого преобразования, а другая - сужением на единичную сферу преобразование Фурье лучевых данных, понимаемого в смысле обобщенных функций. Подобное преобразование между функциями, заданными на единичной сфере естественно назвать преобразованием Семянистого, поскольку в его работе впервые получены подобные соотношения для симметричных однородных функций в n-мерных пространствах. Как уже отмечалось выше, функция не является симметричной, для нее соответствующие соотношения для функций на единичных сферах в трехмерном пространстве были получены в предыдущих параграфах.

Ранее были рассмотрены формулы обращения лучевого преобразования, основанные на явном использовании обобщенных функций, и приемы, позволяющие приводить эти формулы к виду удобному для построения численных алгоритмов.

К выводу формул обращения лучевого преобразования есть другой подход, не использующий обобщенные функции в явном виде. Мы покажем здесь, что фактически этот метод тоже основан на использовании преобразования Фурье в смысле обобщенных функций.

Лучевыми данными называется функция

,

Ф = (Ф1, Ф2, Ф3) Î R3, b Î S2 (S2 v единичная сфера). (Не трудно видеть, что в наших обозначениях это функция ).

В формулах обращения используются следующие функции:

(2.2.9)

, (2.2.10)

(S2/2 - половина единичной сферы), - скалярное произведение векторов и .

Формулы обращения в имеет вид

, (2.2.11)

где , R v радиус шара, в котором содержится носитель функции f(х), -элемент поверхности на единичной сфере.

Если для любого l, такого, что ½ l½ < R и любого b Î S2/2 существует точка Ф на траектории источника такая, что Ф × b = l (выполняются условия Кириллова-Туя), то формула (2.2.11) может быть использована для определения функции f(х).

В отмечается, что функция F при трехмерной томографической реконструкции в конусе лучей в определенной степени аналогична роли преобразования Фурье в двумерной томографии. Этот факт не является случайным.

Перейти на страницу: 1 2 3 4

Читайте больше >>>

Современные лекарственные препараты растительного происхождения
Использование растений в качестве лекарственных средств пришло в наш век из глубокой древности и до сих пор играет значительную роль в арсенале лекарственных средств современной медицины. Это обусловле ...

Электротерапия
Все заболевания костно-мышечной системы могут быть разделены на воспалительные, дистрофические, травматические и опухолевые. В общем комплексе лечебно-восстановительных мероприятий при лечении больных первых ...

Санитарно-микробиологические исследования и контроль в лечебно-профилактических учреждении за внутрибольничными инфекциями
Внутрибольничные инфекции (синоним нозокомиальные инфекции) - инфекционные болезни, связанные с пребыванием, лечением, обследованием и обращением за медицинской помощью в лечебно-профилактическое учреждение. П ...

Ранние послеоперационные осложнения в сосудистой хирургии
Несмотря на значительные успехи хирургического лечения больных с артериальной патологией, достигнутые в настоящее время, различные послеоперационные осложнения встречаются еще довольно часто. Все осложнения бл ...